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Forschungsgebiete
1. Stochastik auf abstrakten Strukturen, insbesondere Lie- und Quantengruppen
In diesem Bereich geht es darum, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse auf allgemeinen algebraischen Strukturen zu betrachten. Insbesondere studieren wir Brownsche Bewegungen und verwandte Prozesse auf einfach zusammenhängenden nilpotenten Liegruppen, deren einfachstes Beispiel die Heisenberggruppe (die ihrerseits ihren Ursprung in der Quantenmechanik hat) ist. Von besonderem Interesse sind Uebertragungen von klassischen Grenzwertsätzen (Gesetze des iterierten Logarithmus, Dreireihensatz, etc.), lokale, "feine" und asymptotische Eigenschaften der Brownschen Bewegung (die bei der Heisenberggruppe im wesentlichen durch den Lévyschen Flächenprozess gegeben ist) sowie Anziehungsbereiche von stabilen Bewegungen. Ein weiterer Schwerpunkt unserer Untersuchungen sind robuste ("getrimmte", "gestutzte") Statistiken auf solchen Gruppen und der Einfluss des Trimmens oder Stutzens auf die Grenzverteilung. In Zusammenarbeit mit Franz und Schott studieren wir analoge Fragen auf Quantengruppen.
2. Finanz- und Versicherungsmathematik
Eines der interessantesten und aktuellsten Gebiete der Finanzmathematik ist die Bewertung von Optionen. Einerseits versuchen wir, das klassische Black-Scholes-Modell zu verallgemeinern (zum Beispiel unter Berücksichtigung zufälliger Volatilität). Oft sind solche Modelle sogenannt nicht-vollständig, d. h. es müssen Kriterien für die Auswahl des äquivalenten Martingalmasses formuliert (und verglichen) werden. Eine zweite Forschungsrichtung basiert auf der Beobachtung, dass die von Jurek in anderen Zusammenhängen eingeführten s-stabilen Gesetze natürliche Interpretationen in der Optionstheorie sowie bei Schadenexzedentrückversicherungen besitzen.
3. Stochastische Aspekte der Kryptologie
Hier geht es einerseits darum, qualitativ hochstehende Zufallsgeneratoren für die Erzeugung von möglichst "sicheren" Schlüsselfolgen zu entwerfen und auf ihre statistischen Eigenschaften zu testen. Andererseits muss man im Zusammenhang mit der sog. "differentiellen Kryptoanalyse" Zufallspermutationen und die von ihnen induzierten algebraischen "Charakteristiken" auf den Schlüsselräumen analysieren und deren Verteilung bestimmen.
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